75045 Dynamiske systemer

Oppgavesett #4 — løsningsforslag

2.7: 1. Skriv systemet som

[ẋ_{1} ; ẋ_{2}] = \underbrace{[\begin{matrix}1 & 6 \\ 4 & 3 \end{matrix}]}_{A} [\begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] + \underbrace{[\begin{matrix}x_{1}x_{2} \\ −x_{1}^{2} \end{matrix}]}_{F (x)}

hvor F (x) er kvadratisk i (x_{1}, x_{2}). Vi finner raskt at A har egenverdiene −3 og 7 med egenvektorer henholdsvis (3, −2)^{T} og (1, 1)^{T}, slik at AV = V B med

B = [\begin{matrix}−3 & 0 \\ 0 & 7 \end{matrix}] , V = [\begin{matrix}3 & 1 \\ −2 & 1 \end{matrix}] , V^{−1} = \frac{1}{5} [\begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 3 \end{matrix}] .

Vårt system ẋ = Ax + F (x) skrives om med x = V y til V ẏ = AV y + F (V y) = V By + F (V y), det vil si til ẏ = By + G(y) der

G(y) = V^{−1}F (V y) = \frac{1}{5} [\begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 3 \end{matrix}] F ([\begin{matrix}3y_{1} + y_{2} \\ −2y_{1} + y_{2} \end{matrix}]) = \frac{1}{5} [\begin{matrix}3y_{1}^{2} + 7y_{1}y_{2} + 2y_{2}^{2} \\ −39y_{1}^{2} − 16y_{1}y_{2} − y_{2}^{2} \end{matrix}]

(med litt hjelp fra Maple i avslutningen).

2.7: 2. Om vi følger bokas bevis for eksistensen av den stabile mangfoldigheten skal vi ha u^{(0)}(t, a) = 0 mens

u^{(j+1)}(t, a) = U(t)a + ∫_{0}^{t} U(t − s)G(u^{(j)}(s, a)) ds − ∫_{t}^{∞} V (t − s)G(u^{(j)}(s, a)) ds.

I dette tilfellet er

B = [\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] , G(x) = [\begin{matrix}0 \\ x_{1}^{2} \end{matrix}] , U(t) = [\begin{matrix}e^{−t} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] , V (t) = [\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & e^{t} \end{matrix}] .

Men da er begge integralene i rekursjonsformelen over null i første komponent, slikt at

u_{1}^{(j+1)}(t, a) = a_{1}e^{−t}.

Annen komponent av rekursjonsformelen gir bare

u_{2}^{(j+1)}(t, a) = − ∫_{t}^{∞} e^{t−s}(u_{1}^{(j)}(s, a))^{2} ds.

For j = 0 gir dette bare u_{2}^{(1)}(t, a) = 0, mens for alle j ≥ 1 gir det

u_{2}^{(j+1)}(t, a) = − ∫_{t}^{∞} e^{t−s}(a_{1}e^{−s})^{2} ds = −\frac{a_{1}^{2}}{3} e^{−2t}.

Oppsummert: u^{(j)}(t, a) er uavhengig av j for j ≥ 2, og konvergerer derfor trivielt mot grensen

u(t, a) = [\begin{matrix}a_{1}e^{−t} \\ −\frac{a_{1}^{2}}{3} e^{−2t} \end{matrix}] med u(0, a) = [\begin{matrix}a_{1} \\ −\frac{a_{1}^{2}}{3} \end{matrix} ]

når j → ∞. Nå er det nettopp u(0, a) som parametriserer den lokale stabile mangfoldigheten S, som altså har ligning y_{2} = −y_{1}^{2}/3.

2.7: 3. ẋ_{1} = −x_{1} har generell løsning x_{1} = Ae^{−t}. Dette kan vi sette inn i den andre ligningen ẋ_{2} = x_{2} + x_{1}^{2} og få ẋ_{2} = x_{2} + A^{2}e^{−2t}, som har generell løsning x_{2} = Be^{t} − (A^{2}/4)e^{−2t}.

Det er jo ganske opplagt at x_{2}-aksen (x_{1} = 0) er invariant. Fra forrige punkt vet vi at kurven gitt ved x_{2} + x_{1}^{2}/3 = 0 også bør være invariant, men det er ingen dum idé å sjekke dette eksplisitt:

\frac{d}{dt}(x_{2} + \frac{x_{1}^{2}}{3} ) = ẋ_{2} + \frac{2}{3}x_{1}ẋ_{1} = x_{2} + x_{1}^{2} − \frac{2}{3}x_{1}^{2} = x_{2} + \frac{x_{1}^{2}}{3}

75045 Dynamiske systemer 1997: Oppgavesett #4 Page 2

slik at u(t) = x_{2} + x_{1}^{2}/3 oppfyller u̇ = u. Men vi vet jo at da er u(t) = 0 for alle t dersom u(t) = 0 for en t. Se for øvrig en generalisering av dette i oppgave #5.1.

2.9: 4. Vi kan ta punktene (a) og (b) i en runde ved å skrive

ẋ_{1} = −x_{2} + μ(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})x_{1},
ẋ_{2} = x_{1} + μ(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})x_{2}

der μ = −1 i (a) og μ = 1 i (b). Forsøker vi oss med Liapunov-funksjonen V = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} finner vi kjapt

V̇ = 2(x_{1}ẋ_{1} + x_{2}ẋ_{2}) = 2(−x_{1}x_{2} + μ(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})x_{1}^{2} + x_{1}x_{2}μ(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})x_{2}^{2}) = 2μ(x_{1}^{2} + x_{2}^{2})^{2} ≠ 0

med samme fortegn som μ for (x_{1}, x_{2}) ≠ 0. Altså har vi asymptotisk stabilitet i (a) og ustabilitet i (b).

(c) Her er

ẋ_{1} = −x_{2} − x_{1}x_{2},
ẋ_{2} = x_{1} + x_{1}^{2}

som umiddelbart gir

V̇ = 2(x_{1}ẋ_{1} + x_{2}ẋ_{2}) = 2(−x_{1}x_{2} − x_{1}^{2}x_{2} + x_{1}x_{2} + x_{1}^{2}x_{2}) = 0.

Dette gir stabilitet, men ikke asymptotisk stabilitet (banene ligger på sirkler med sentrum i origo). Faktisk kan vi skrive

ẋ_{1} = −(1 + x_{1})x_{2}, ẋ_{2} = (1 + x_{1})x_{1}

som bortsett fra den felles faktoren 1 + x_{1} er det samme systemet som (ẋ_{1}, ẋ_{2}) = (−x_{2}, x_{1}) med løsning (x_{1}, x_{2}) = (A cos(t − a), A sin(t − a)). Faktoren 1 + x gjør at løsningene for de to systemen følger samme baner, men med forskjellig hastighet (og motsatt retning, når x_{1} < −1).

2.9: 5. Alle systemene i denne oppgaven har et likevektspunkt i origo. I punktene (a–c) er dette likevektspunktet hyperbolsk, slik at det knapt er nødvendig med noen Liapunov-funksjon for å avgjøre stabilitet! (Hadde jeg oppdaget det tidligere, hadde jeg neppe gitt oppgaven.) I punkt (d) derimot er likevektspunktet ikkehyperbolsk: Det lineariserte systemet har et senter. Jeg har ikke funnet en Liapunovfunksjon for dette systemet, så vi får komme tilbake til dette etter påske.

2.9: 7. I oppgaven er f et like polynom og g et odde polynom, og

F (x) = ∫_{0}^{x} f(s) ds, G(x) = ∫_{0}^{x} g(s) ds.

Spesielt er altså F et odde polynom og G et like polynom med F (0) = G(0) = 0, F′ = f og G′ = g. Siden vi skal skrive om ligningen

ẍ + f(x)ẋ + g(x) = 0

til et system som blant annet inneholder ligningen ẋ_{2} − g(x_{1}) er det vel klart at vi burde sette x_{1} = x og forsøke å skrive ẍ + f(x)ẋ som en derivert. Men det er jo likefrem, siden

\frac{d}{dt}F (x) = F′(x)ẋ = f(x)ẋ.

Vi trenger altså bare definere x_{2} = ẋ_{1} + F (x_{1}) for å få den ønskede ligningen ẋ_{2} = ẍ_{1} + f(x_{1})ẋ_{1} = −g(x_{1}) fra den gitte ligningen. Rydder vi opp, får vi Lienardsystemet

ẋ_{1} = x_{2} − F (x_{1}),
ẋ_{2} = −g(x_{1}).

Origo er et likevektspunkt fordi F (0) = 0 og g(0) = 0 (siden g er odde).

Dataene som er gitt antyder vel at vi skal se etter en Liapunovfunksjon. Det er veldig nærliggende å la G(x_{1}) være inneholdt i denne, fordi vi har gitt at G(x_{1}) > 0 når x_{1} ≠ 0 er liten nok. Vi finner

\frac{d}{dt}G(x_{1}) = g(x_{1})ẋ_{1} = g(x_{1})x_{2} − g(x_{1})F (x_{1})

hvor vi har kontroll over det siste leddet, men ikke det første. Men vi har

\frac{d}{dt} \frac{x_{2}^{2}}{2} = x_{2}ẋ_{2} = −x_{2}g(x_{1})

og dermed ser vi at V = G(x_{1})+x_{2}^{2}/2 skulle bli en brukbar Liapunovfunksjon med V̇ = −g(x_{1})F (x_{1}). Denne har den fordelen at V > 0 når (x_{1}, x_{2}) ≠ (0, 0) er liten nok, og vi har altså V̇ = −g(x_{1})F (x_{1}) som gir presis de stabilitetsegenskapene det ble spurt etter, rent bortsett fra at vi bar får V̇ ⋛, mens V̇ ≷ 0 bare når x_{1} ≠ 0 (⋛ står for enten ≥ eller ≤, og ≷ for enten > eller <, avhengig av fortegnet til μ). At dette likevel gir asymptotisk (u)stabilitet krever et separat argument jeg vil komme tilbake til.

2.9: 8. van der Pol’s ligning ẍ + ε(x^{2} − 1)ẋ + x = 0 er nettopp en ligning av denne typen, med f(x) = ε(x^{2} − 1) og g(x) = x. Dette gir G(x) = x^{2}/2 > 0 (for x ≠ 0 og F (x) = ε(x^{3}/3 − x) slik at g(x)F (x) = ε(x^{2}/3 − 1)x^{2} ≠ 0 med motsatt fortegn av ε, når 0 < |x| < \sqrt{3}. For ε > 0 er altså origo et ustabilt likevektspunkt, og for ε < 0 er det stabilt.

Oppgaver #5 — over påske

#5: 1. Anta H er en reell C^{1}-funksjon slik at DH(x)f(x) = g(x)H(x) der g er en reell kontinuerlig funksjon. Vis at da er punktmengden gitt ved H(x) = 0 invariant for systemet ẋ = f(x). (Hint: Bruk Grönwall.)

#5: 2. Bevis teorem 6 i Perko avsnitt 2.10.

Perko 2.10: 4; 2.12: 1–4.