75032 Matrisemetoder

Løsningsforslag til oppgaver gitt til mandag 17/10–94

Gjennomgås mandag 24/10–94

Oppgave 2.18 side 129: Hvis A er en n × n-matrise med rang n, er A invertibel. Om man multipliserer ligningen A^{2} = A fra den ene siden med en invers av A, får man A = I.

Oppgave 2.20 side 129: Det finnes 5! = 120 permutasjoner av {1, 2, 3, 4, 5} og derfor like mange 5 × 5-matriser. (For å spesifisere en permutasjon σ må man velge σ(1) på en av 5 måter, deretter σ(2) på en av 4 måter (siden σ(2) ≠ σ(1)), deretter σ(3) på en av 3 måter (forskjellig fra σ(2) og σ(1)), σ(4) på en av 2 måter, og endelig er det bare ett valg igjen for σ(5). I alt 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5! måter).

Siden rommet av 5 × 5-matriser er 25-dimensjonalt, kan ikke alle 120 permutasjonsmatriser være lineært uavhengige, ved plassmangelteoremet.

Permutasjonsmatrisene utspenner ikke hele rommet av 5×5-matriser, fordi de oppfyller mange homogene lineære ligninger, for eksempel

a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + a_{15} − a_{21} − a_{22} − a_{23} − a_{24} − a_{25} = 0.

Alle matrisene som oppfyller ligningen over danner et underrom av dimensjon 24, og alle permutasjonsmatrisene ligger i dette underrommet. Det er dermed ikke mulig for noen mengde av permutasjonsmatriser å utspenne hele rommet av 5 × 5-matriser.

Oppgave 2.30 side 130:

(a) x ∈ N (A) ⟺ Ax = 0 ⟹ A^{2}x = A(Ax) = 0 ⟺ x ∈ N (A^{2}). Med andre ord, nullrommet til A er inneholdt i nullrommet til A^{2}.

(b) Et element i søylerommet R(A^{2}) kan skrives A^{2}x der x er en vektor. Men A^{2}x = A(Ax) er på formen Ay for en vektor y, altså med i R(A).

Oppgave 2.32 side 130:

(a) Kravet x_{1} + x_{2} = x_{3} + x_{4} = x_{5} + x_{6} kan skrives Ax = 0 med

A = [\begin{matrix}1 & 1 & −1 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & −1 & −1 \end{matrix}]

Vi ser at A allerede er på trappeform, og frie variabler er x_{2}, x_{4}, x_{5} og x_{6}. Setter vi de etter tur og orden lik 1 mens de andre settes lik 0, ender vi med basisen

[\begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] , [\begin{matrix}0 \\ 0 \\ −1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] , [\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}] , [\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}] .

(b) Vi fant allerede matrisen A med dette rommet som sitt nullrom, ovenfor.

(c) For å finne en matrise med dette rommet som sitt søylerom er det bare å ta basisen ovenfor og lage en matrise der søylene er basisvektorene.

Oppgave 3.1.11 side 142: Om Ax = b og A^{T}y = 0 med y^{T}b ≠ 0, merk at den andre ligningen kan skrives y^{T}A = 0. Dermed blir 0 = y^{T}Ax = y^{T}b ≠ 0, en motsigelse.

Oppgave 3.1.19 side 143:

(a) Feil. La V være x-aksen og W være y-aksen i R^{3}, så er de ortogonale, men V^{⊥} er yzplanet og W^{⊥} er xz-planet, og de er ikke ortogonale (de inneholder begge z-aksen). Generelt vil implikasjonen holde hvis, og bare hvis, dim(V) + dim(W) = n der rommene er inneholdt i R^{n}.

(b) Nei, nei, nei, nei! Et opplagt moteksempel har Z = V.