75032 Matrisemetoder

Løsningsforslag til oppgaver gitt til mandag 31/10–94

Oppgave 3.2.1 side 150:

(a) Man finner a^{T}b = 2\sqrt{xy} og ∥a∥^{2} = ∥b∥^{2} = x + y, så Schwarz ulikhet blir 2\sqrt{xy} ≤ x + y. Med andre ord, det geometriske middel \sqrt{xy} er mindre enn eller lik det aritmetiske middel (x + y)/2. (Samme resultat får man mer direkte ved å betrakte (\sqrt{x} + \sqrt{y})^{2} ≥ 0 og (\sqrt{x} − \sqrt{y})^{2} ≥ 0).

(b) Siden begge sider i trekantulikheten

∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥

er positive, er den ekvivalent med den kvadrerte ulikheten, som blir

∥x∥^{2} + 2x^{T}y + ∥y∥^{2} ≤ ∥x∥^{2} + 2 ∥x∥ ∥y∥ + ∥y∥^{2} .

Men etter at vi har trukket fra alle de felles leddene på begge sider og delt med 2 står vi igjen med x^{T}y ≤ ∥x∥ ∥y∥, som nesten er Schwarz ulikhet, men under enhver omstendighet følger fra Schwarz ulikhet |x^{T}y| ≤ ∥x∥ ∥y∥.

Oppgave 3.2.3 side 151: Med vektorene i oppgaven finner man a^{T}b = 10, ∥a∥ = \sqrt{3} og ∥b∥ = 6. Dette gir at multiplet av a nærmest b er

\frac{b^{T}a}{∥a∥^{2}} a = \frac{10}{3}a

mens punktet på linjen gjennom b nærmest til a er

\frac{a^{T}b}{∥b∥^{2}} b = \frac{10}{36}b.

Oppgave 3.2.7 side 151: Med a = (a_{1}, …, a_{n}) og b = (1, …, 1) blir Schwarz ulikhet på formen (a^{T}b)^{2} ≤ ∥a∥^{2} ∥b∥^{2} den søkte ulikhet

(a_{1} + ⋯ + a_{n})^{2} ≤ (a_{1}^{2} + ⋯ + a_{n}^{2})n.

(Dividerer vi med n^{2} og tar kvadratrot, får vi ulikheten

|\frac{a_{1} + ⋯ + a_{n}}{n} | ≤ \sqrt{\frac{a_{1}^{2} + ⋯ + a_{n}^{2}}{n}}

som er en kjent ulikhet mellom aritmetisk og kvadratisk middel (eller RMS, Root-Mean-Square).)

Oppgave 3.2.8 side 151: To typiske vektorer fra sentrum til to hjørner i tetraederet er a = (0, 0, 0)−(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (−\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}, −\frac{1}{2}) og b = (1, 1, 0)−(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, −\frac{1}{2}). Dette gir ∥a∥^{2} = ∥b∥^{2} = 3/4 og a^{T}b = −1/4 slik at cosinus til vinkelen blir −1/3 (og vinkelen blir omtrent 109.47122^{∘}).

Oppgave 3.2.11 side 151: (a)

P_{1} = (a^{T}a)^{−1}aa^{T} = \frac{1}{10} [\begin{matrix}1 \\ 3 \end{matrix}] [1 3] = \frac{1}{10} [\begin{matrix}1 & 3 \\ 3 & 9 \end{matrix}] .

En vektor ortogonalt på a er b = [\begin{matrix}3 \\ −1 \end{matrix}], og en tilsvarende beregning gir da

P_{2} = (b^{T}b)^{−1}bb^{T} = \frac{1}{10} [\begin{matrix}3 \\ −1 \end{matrix}] [3 −1] = \frac{1}{10} [\begin{matrix}9 & −3 \\ −3 & 1 \end{matrix}] .

(b) P_{1} + P_{2} = I og P_{1}P_{2} = 0. Disse formlene gjelder alltid når P_{1} og P_{2} er ortogonalprojeksjon på underrom som er hverandres ortogonalkomplement. P_{1}P_{2} = 0 uttrykker ortogonalitet: P_{2}x ligger i nullrommet til P_{1} som er ortogonalkomplementet til bildet til P_{1}. Og P_{1} + P_{2} = I uttrykker det at enhver vektor kan skrives som sum av to vektorer, en fra hver av de to underrommene.

Oppgave 3.2.14 side 152: Snittet av de to planene er en linje, siden de ikke er parallelle. Men en vektor i linjen er a = (1, −2, 1), så den søkte projeksjonen kan beregnes på vanlig vis som

P = (a^{T}a)^{−1}aa^{T} = \frac{1}{6} [\begin{matrix}1 \\ −2 \\ 1 \end{matrix}] [1 −2 1] = \frac{1}{6} [\begin{matrix}1 & −2 & 1 \\ −2 & 4 & −2 \\ 1 & −2 & 1 \end{matrix}] .