75032 Matrisemetoder

Løsningsforslag til oppgaver gitt til mandag 21/11–94

4.2.1 side 218: Generelt er det(cA) = c^{n} det(A) for en n × n-matrise A, for om vi skriver det(v_{1}, …, v_{n}) for determinanten til en matrise med rekker v_{1}, …, v_{n} er det(cv_{1}, cv_{2}, …, cv_{n}) = c det(v_{1}, cv_{2}, …, cv_{n}) = ⋯ = c^{n} det(v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) (siden determinanten er lineær i hver rekke for seg — ta en rekke om gangen, og sett c utenfor).

Spesielt er det(2A) = 2^{n} det(A) og det(−A) = (−1)^{n} det(A). Til sist (og uten sammenheng med det foran) er det(A^{2}) = det(A)^{2} ved en likefrem anvendelse av regelen det(AB) = det(A) det(B).

4.2.4 side 219: Begge de to gitte matrisene

[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] og [\begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

kan omformes til identitetsmatrisen ved rekkeombyttinger. For den første byttes 1. og 4. rekke og deretter 2. og 3. rekke — altså to ombyttinger, og determinanten blir (−1)^{2} det(I) = 1. For den andre flyttes siste rekke opp til toppen ved først å bytte de to siste rekkene, deretter nummer 2 og 3 og til sist nummer 1 og 2. I alt 3 ombyttinger, og determinanten blir (−1)^{3} det(I) = −1.

4.2.6 side 219:

(a) det(A) = 0 siden A er en 3 × 3-matrise med rang 1, altså singulær.

(b) det(U) = 4 · 1 · 2 · 2 = 16.

(c) det(U^{T}) = det(U) = 16.

(d) det(U^{−1}) = det(U)^{−1} = 1/16.

(e) det(M) = det(U) = 16, for M = P U der P er den første av de to matrisene i oppgave 4.2.4. Eller, sagt på en annen måte, M fremkommer av U ved to rekkeombyttinger — de samme som nevnt for den første av matrisene i 4.2.4.

4.2.10 side 220: Ved rekkeoperasjoner, samt litt bruk av multinlinearitet (det faktum at determinanten er lineær i hver rekke) finner vi

|\begin{matrix}1 & a & a^{2} \\ 1 & b & b^{2} \\ 1 & c & c^{2} \end{matrix}| = |\begin{matrix}1 & a & a^{2} \\ 0 & b − a & b^{2} − a^{2} \\ 0 & c − a & c^{2} − a^{2} \end{matrix}| = (b − a)(c − a) |\begin{matrix}1 & a & a^{2} \\ 0 & 1 & b + a \\ 0 & 1 & c + a \end{matrix}|

= (b − a)(c − a) |\begin{matrix}1 & a & a^{2} \\ 0 & 1 & b + a \\ 0 & 0 & c − b \end{matrix}| = (b − a)(c − a)(c − b) |\begin{matrix}1 & a & a^{2} \\ 0 & 1 & b + a \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}|

= (b − a)(c − a)(c − b)

som ønsket.

4.2.17 side 220: Argumentet bygger på formelen det(−A) = − det(A), som bare er riktig for odde n. Men da er argumentet til gjengjeld helt i orden, slik at CD = −DC kun er mulig for matriser av odde orden når minst en av matrisene er singulær.

For n = 2 kan man lett finne et eksempel:

C = [\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}] , D = [\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] , CD = [\begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix}] , DC = [\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] = −CD.

(multiplikasjon med D fra høyre bytter om de to søylene, mens multiplikasjon med D fra venstre bytter om de to rekkene i C).