75032 Matrisemetoder

Løsningsforslag til oppgaver gitt til onsdag 8/2–95

1.28 side 62: Vi ser at

[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ a & 1 & 0 \\ b & 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ c & 1 & 0 \\ d & 0 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ a + c & 1 & 0 \\ b + d & 0 & 1 \end{matrix}]

med andre ord, for matriser av denne spesielle formen (enere på diagonalen, nuller utenfor diagonalen unntatt i første søyle) er matrisemultiplikasjon det samme som å addere elementene utenfor diagonalen. Dette gir uten videre

[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ l & 1 & 0 \\ m & 0 & 1 \end{matrix}]^{n} = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ nl & 1 & 0 \\ nm & 0 & 1 \end{matrix}] og [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ l & 1 & 0 \\ m & 0 & 1 \end{matrix}]^{−1} = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −l & 1 & 0 \\ −m & 0 & 1 \end{matrix}] .

Gausseliminasjon gir uten videre

[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ l & 1 & 0 \\ 0 & m & 1 \end{matrix}]^{−1} = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −l & 1 & 0 \\ lm & −m & 1 \end{matrix}] .

2.13 side 129: I dette tilfellet går Gausseliminasjon uten pivotering helt greit rett fram etter nesen. I de tilfellene der vi får en null på diagonalen får vi nuller også under diagonalen, så vi kan bare regne videre som om ingenting var hendt. Slutten på visa blir

A = LU = [\begin{matrix}1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix}a & a & a & a \\ & b − a & b − a & b − a \\ & & c − b & c − b \\ & & & d − c \end{matrix}]

der jeg, min vane tro, ikke skriver noe i de feltene der det kommer en null. Søylene i A blir som alltid lineært uavhengige akkurat når U ikke har noen nuller på diagonalen (generelt, for trappedekomposisjon, når hver søyle i U har en pivot). Det er åpenbart ekvivalent med at a ≠ 0, b ≠ a, c ≠ b og d ≠ c.

2.31 side 130: Med A = uv^{T} blir A^{2} = uv^{T}uv^{T} men siden u og v er søylevektorer blir v^{T}u en 1 × 1-matrise, som altså kan oppfattes som en skalar. Så A^{2} = (v^{T}u)uv^{T} = (v^{T}u)A som er null hvis og bare hvis v^{T}u = 0, det vil si u og v er ortogonale. (Den andre muligheten er at A = 0, men da er enten u = 0 eller v = 0 så det er et spesialtilfelle av den første muligheten).

3.39 side 210: Om søylene i A er ortogonale blir A^{T}A diagonal (og omvendt). Dette fordi (i, j)- elementet i A^{T}A er indreproduktet av søylene i og j i A. Av samme grunn, om søylene i A er ortonormale blir A^{T}A = I.

3.40 side 210: A^{T}A er invertibel hvis og bare hvis den har trivielt nullrom, siden den er kvadratisk. Men Ax = 0 impliserer A^{T}Ax = 0, så om A^{T}A har trivielt nullrom har også A det, og søylene i A er lineært uavhengige. Lineær uavhengighet av søylene i A er altså en nødvendig betingelse for at A^{T}A skal være invertibel. Denne betingelsen er også tilstrekkelig, for om A^{T}Ax = 0 blir x^{T}A^{T}Ax = 0, eller med andre ord ∥Ax∥^{2} = (Ax)^{T}Ax = x^{T}A^{T}Ax = 0 som gir Ax = 0.

4.16 side 242: Rekke nummer i i en kvadratisk matrise A med a_{ij} = i + j kan skrives u + iv der u = [1, 2, …, n] og v = [1, 1, …, 1]. Alle rekkene ligger altså i et todimensjonalt rom (utspent av u og v), og kan ikke være lineært uavhengige for n > 2. Dermed blir det(A) = 0 for n > 2.

For n = 1 og n = 2 regner vi ut determinanten direkte, og får henholdsvis 2 og −1.

4.25 side 242: Permutasjonsmatrisen til det sirkulære skiftet blir

[\begin{matrix}0 & 0 & ⋯ & 0 & 1 \\ 1 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & 1 & ... & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & & ... & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ⋯ & 1 & 0 \end{matrix}]

Determinanten blir ±1 med fortegn lik fortegnet til permutasjonen. En enkel måte å finne det ut på er å omforme matrisen til identitetsmatrisen ved rekkeombyttinger. Vi må bare flytte første rekke ned til slutten, ved suksessivt å bytte den om med rekke nummer 2, 3, …, n. Det er i alt n − 1 rekkeombyttinger, så determinanten blir (−1)^{n−1}.