75032 Matrisemetoder

Løsningsforslag til oppgaver gitt til onsdag 22/2–95

5.1.8 side 252: Det karakteristiske polynomet har jo formen det(A−λI) = (−1)^{n}λ^{n}+⋯, der ⋯ står for termer med lavere potens av λ enn n. Et polynom i λ av grad n med ledende koeffisient 1 kan alltid faktoriseres som (λ−λ_{1}) ⋯ (λ−λ_{n}) der λ_{1}, …, λ_{n} ∈ C, og det leder til en faktorisering

det(A − λI) = (−1)^{n}(λ − λ_{1}) ⋯ (λ − λ_{n}) = (λ_{1} − λ) ⋯ (λ_{n} − λ)  (∗)

som antydet i oppgaven. Det fenomenalt geniale valg λ = 0 leder jo da straks til at determinanten er produktet av alle egenverdiene.

5.1.9 side 252: Multipliserer man ut høyresiden i (∗) får man straks

det(A − λI) = (−λ)^{n} + (λ_{1} + ⋯ + λ_{n})(−λ)^{n−1} + ⋯  (∗∗)

mens den eksplisitte formelen for determinanten jo sier at

|\begin{matrix}a_{11} − λ & a_{12} & ⋯ & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} − λ & ⋯ & a_{2n} \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ a_{n1} & a_{n2} & ⋯ & a_{nn} − λ \end{matrix}|

er en sum av n! termer (en for hver permutasjon av {1, …, n}), som hver et produkt av utvalg av n ledd fra matrisen med eksakt ett ledd i hver rekke og ett i hver rad. Dersom et slikt utplukk velger element j fra rekke i med j ≠ i, kan det ikke velge element j fra rekke j, så utplukket kan høyst inneholde n − 2 elementer fra diagonalen, og produktet har dermed grad ≤ n − 2 i λ. Derfor vil produktet av diagonalelementene være det eneste leddet i summen som inneholder potenser av λ høyere enn n − 2. Dette leder til

det(A − λI) = (a_{11} − λ) ⋯ (a_{nn} − λ) + ⋯
= (−λ)^{n} + (a_{11} + ⋯ + a_{nn})(−λ)^{n−1} + ⋯
= (−λ)^{n} + tr(A)(−λ)^{n−1} + ⋯

der ⋯ bare inneholder ledd av lavere grad enn n − 1. Sammenligner vi dette med (∗∗) får vi tr(A) = λ_{1} + ⋯ + λ_{n}.

5.1.10 side 253:

(a) Det finnes selvsagt massevis av eksempler, men jeg tenkte raskt på disse, som er inspirert av Pauli-matrisene i kvantemekanikk:

A = [\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] , B = [\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}] , AB = [\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] , A + B = [\begin{matrix}1 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix}]

der A har egenverdiene ±i, B har egenverdiene ±1, AB har egenverdiene ±1 og A + B har egenverdien 0 (med algebraisk multiplisitet 2, geometrisk multiplisitet 1).

(b) For summen av egenverdiene, husk at tr(A + B) = tr(A) + tr(B). For produktet bruker vi tilsvarende det(AB) = det A det B.

5.2.5 side 260: A_{2} kan diagonaliseres, siden den er en 2 × 2-matrise med to distinkte egenverdier ±2. A_{1} har bare egenverdien 0, med endimensjonalt egenrom (basisvektor [1, 1]^{T}) og kan dermed ikke diagonaliseres. A_{3} har bare egenverdien 2 med endimensjonalt egenrom (basisvektor [0, 1]^{T}) og kan heller ikke diagonaliseres.

5.2.7 side 260: Karakteristisk ligning blir λ^{2} − 6λ + 5 = 0 med løsninger λ = 1 og λ = 5. For λ = 1 finner vi

A − I = [\begin{matrix}3 & 3 \\ 1 & 1 \end{matrix}] ⟶ [\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] , egenvektor [\begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix}]

(der ⟶ står for reduksjon ved rekkeoperasjoner, som ikke endrer nullrommet).

For λ = 5 blir

A − 5I = [\begin{matrix}−1 & 3 \\ 1 & −3 \end{matrix}] ⟶ [\begin{matrix}1 & −3 \\ 0 & 0 \end{matrix}] , egenvektor [\begin{matrix}3 \\ 1 \end{matrix}] .

At disse oppfyller egengverdiligningene er uttrykt ved AS = ΛS der

S = [\begin{matrix}1 & 3 \\ −1 & 1 \end{matrix}] , Λ = [\begin{matrix}1 \\ & 5 \end{matrix}] , S^{−1} = \frac{1}{4} [\begin{matrix}1 & −3 \\ 1 & 1 \end{matrix}]

som gir

A^{100} = (SΛS^{−1})^{100} = SΛ^{100}S^{−1} = \frac{1}{4} [\begin{matrix}1 + 3 · 5^{100} & −3 + 3 · 5^{100} \\ −1 + 5^{100} & 3 + 5^{100} \end{matrix}]

5.2.8 side 261:

(a) Au = uv^{T}u = (v^{T}u)u viser at u er en egenverdi for A = uv^{T} med egenverdi v^{T}u.

(b) Hvis w er en egenvektor med egenverdi λ er λw = Aw = uv^{T}w = (v^{T}w)u. Hvis λ ≠ 0 så er w et multiplum av u, men da vet vi allerede at den tilhørende egenverdien er v^{T}u. Den andre muligheten er λ = 0, som skjer når w er ortogonal på v. Det finnes altså ingen andre egenverdier enn v^{T}u og 0.

(c) A_{ij} = u_{i}v_{j} gir tr(A) = ∑_{i=1}^{n} A_{ii} = ∑_{i=1}^{n} u_{i}v_{i} = v^{T}u. Dette er jo også summen av alle egenverdiene (v^{T}u en gang og n − 1 nuller).

5.4.1 side 286: Matrisen får karakteristisk polynom λ^{2} + 2λ og dermed egenverdiene 0 og −2. For λ = 0 får vi

A − 0I = [\begin{matrix}−1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix}] ⟶ [\begin{matrix}1 & −1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] , egenvektor [\begin{matrix}1 \\ 1 \end{matrix}] .

For λ = −2 får vi

A + 2I = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] ⟶ [\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}] , egenvektor [\begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix}] .

Dermed blir AS = SΛ for

S = [\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix}] , Λ = [\begin{matrix}0 \\ & −2 \end{matrix}] , S^{−1} = \frac{1}{2} [\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix}] = \frac{1}{2}S,

og

e^{tA} = Se^{tΛ}S^{−1} = \frac{1}{2} [\begin{matrix}1 + e^{−2t} & 1 − e^{−2t} \\ 1 − e^{−2t} & 1 + e^{−2t} \end{matrix}]