75032 Matrisemetoder

Løsningsforslag til oppgaver gitt til onsdag 15/3–95

Eksamen mai 1988: 1: Se løsningsforslag i eksamensoppgavesamlingen.

Eksamen mai 1988: 4: Se løsningsforslag i eksamensoppgavesamlingen, men det kan være verdt å merke seg at løsningen som er gitt der er unødig komplisert. Ved å betrakte koeffisientene til det karakteristiske polynomet ser vi at produktet av alle egenverdiene må være 3/4, for med ledende koeffisient −1, konstantledd 3/4 og nullpunkter λ_{j} kan vi skrive p(λ) = −(λ − λ_{1})(λ − λ_{2})(λ − λ_{3}) som har konstantledd λ_{1}λ_{2}λ_{3}. Siden en av egenverdiene er 1/2 må produktet av de to andre være 3/2 slik at en eller begge av dem må ha absoluttverdi > 1, og systemet er ustabilt.

Eksamen august 1988: 3: Se løsningsforslag i eksamensoppgavesamlingen. Den løsningen er nok litt uheldig formulert i starten. Det som skjer er at determinanten utvikles etter siste rekke, og at de to kofaktorene blir determinanter til triangulære matrier, som er trivielle å regne ut.

5.6.3 side 315: A og A + I er ikke similære, for om A har egenverdiene λ_{1}, …, λ_{n} vil A + I ha egenverdiene λ_{1} + 1, …, λ_{n} + 1. Men similære matriser har de samme egenverdiene.

Dette illustrerer et viktig prinsipp i løsningen av slike oppgaver: Hvis du skal vise at to matriser ikke er similære, så spør deg selv hva har to similære matriser felles? og kan jeg påvise at disse to ikke har dette felles?

Beviset jeg har gitt er typisk endeligdimensjonalt. (Hvor bryter det sammen om A kan ha uendelig mange egenverdier?) Som et eksempel, betrakt vektorrommet som består av alle dobbelt uendelige følger (…, x_{−2}, x_{−1}, x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}, …) og la operatoren A avbilde denne følgen (x_{n}) på (nx_{n}); den multipliserer altså ledd nummer n i følgen med n. La skiftoperatoren S være gitt ved at (Sx)_{n} = x_{n−1}. Den flytter alle tallene i følgen ett trinn mot høyre. Jeg finner AS = SA + S, slik at S^{−1}AS = A + I, som altså ikke er noen umulighet i uendeligdimensjonale rom!

5.6.4 side 315: Om vi følger hintet og lar M være en diagonal matrise med diagonalelementer σ_{j} = ±1 (j = 1, 2, 3, 4), er det raskt nok å regne ut

M^{−1}AM = [\begin{matrix}2 & σ_{1}σ_{2} \\ σ_{1}σ_{2} & 2 & σ_{2}σ_{3} \\ & σ_{2}σ_{3} & 2 & σ_{3}σ_{4} \\ & & σ_{3}σ_{4} & 2 \end{matrix}]

og det klart at vi får det ønskede resultat om vi for eksempel setter σ_{j} = (−1)^{j}.

Trekker vi fra 2I fra hver av de to gitte matrisene, ser vi at matrisen

C = [\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ & 1 & 0 & 1 \\ & & 1 & 0 \end{matrix}] er similær med −C.

Dette kan nok virke paradoksalt, for C ser så “positiv” ut. Men det karakteristiske polynomet til C er lett nok å regne ut; det blir p_{C}(λ) = λ^{4} − 3λ^{2} + 1 om jeg ikke har regnet feil, så for hver egenverdi λ er også −λ en egenverdi. Denne symmetrien av spektret til C forklarer hvorfor C og −C er similære.

5.6.5 side 315: Vi søker en matrise M med M^{−1}BAM = AB. Dersom B er invertibel er det klart at M = B er et godt valg.