75032 Matrisemetoder

Løsningsforslag til oppgaver gitt til onsdag 22/3–95

5.6.15 side 316: Dersom A^{T} = λA blir A = (A^{T})^{T} = (λA)^{T} = λA^{T} = λ^{2}A så om A ≠ 0 blir λ^{2} = 1, og λ = ±1. (Samme argument viser at enhver lineæravbildning T som oppfyller T^{2} = I ikke har andre egenverdier enn ±1). Egenvektorene, eller “egenmatrisene”, som hører til egenverdien 1 blir de symmetrisk matrisene (A^{T} = A) mens de som hører til egenverdien −1 blir de antisymmetriske matrisene (A^{T} = −A). For øvrig viser identiteten A = \frac{1}{2}(A+A^{T})+ \frac{1}{2}(A−A^{T}) at enhver matrise A kan skrives som en sum av en symmetrisk og en antisymmetriske matrise, slik at de to egenrommene til sammen spenner ut hele rommet av n × n-matriser — og transponering er dermed diagonaliserbar.

5.6.19 side 317: Med

T = [\begin{matrix}t_{11} & t_{12} & t_{13} \\ & t_{22} & t_{23} \\ & & t_{33} \end{matrix}] , T^{H} = [\overline{t_{11}} ; \overline{t_{12}} \overline{t_{22}} ; \overline{t_{13}} \overline{t_{23}} \overline{t_{33}}]

regner vi ut

T T^{H} = [\begin{matrix}|t_{11}|^{2} + |t_{12}|^{2} + |t_{13}|^{2} & ∗ & ∗ \\ ∗ & |t_{22}|^{2} + |t_{23}|^{2} & ∗ \\ ∗ & ∗ & |t_{33}|^{2} \end{matrix}] ,

T^{H}T = [\begin{matrix}|t_{11}|^{2} & ∗ & ∗ \\ ∗ & |t_{12}|^{2} + |t_{22}|^{2} & ∗ \\ ∗ & ∗ & |t_{13}|^{2} + |t_{23}|^{2} + |t_{33}|^{2} \end{matrix}]

hvor jeg har merket de feltene vi ikke trenger regne ut med ∗. Om T T^{H} = T^{H}T kan vi sammenligne første element på de to diagonalene og slutte at t_{12} = t_{13} = 0 mens en tilsvarende sammenligning av siste diagonalelement gir t_{13} = t_{23} = 0. Altså er T diagonal.

Beviset generaliseres lett til generelle n × n-matriser, men da er det greiere å ta diagonalelementene i T T^{H} og T^{H}T i rekkefølge: Etter å ha brukt det første til å se at t_{12} = t_{13} = 0 reduseres likheten av de to annen-elementene |t_{22}|^{2} + |t_{23}| = |t_{12}|^{2} + |t_{22}|^{2} til |t_{22}|^{2} + |t_{23}| = |t_{22}|^{2} hvorav t_{23} = 0. Slik viser man, rekke for rekke, at T er null utenfor diagonalen.

5.6.24 side 317: Den triangulære 3 × 3-matrisen T har egenverdiene λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} på diagonalen, så produktet (T − λ_{1})(T − λ_{2})(T − λ_{3}) får formen

[ \begin{matrix}∗ & ∗ \\ ∗ & ∗ \\ & ∗ \end{matrix}] [\begin{matrix}∗ & ∗ & ∗ \\ & & ∗ \\ & & ∗ \end{matrix}] [\begin{matrix}∗ & ∗ & ∗ \\ & ∗ & ∗ \end{matrix}] = [ \begin{matrix}∗ \\ ∗ \\ ∗ \end{matrix}] [\begin{matrix}∗ & ∗ & ∗ \\ & ∗ & ∗ \end{matrix}]

der blanke felt i matrisene er 0 og feltene er merket ∗ kan være hva som helst. Men dette produktet blir åpenbart nullmatrisen (hver rekke i den første matrisen er ortogonal på hver søyle i den andre).

5.16 side 320: I denne oppgaven prøver vi å løse

[\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}] [\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}] = [\begin{matrix}a^{2} + bc & (a + d)b \\ (a + d)c & bc + d^{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix}α & 1 \\ 0 & α \end{matrix}]

med α = 0 eller α = 4.

I begge tilfeller får vi ligningene (a + d)b = 1 og (a + d)c = 0 fra matriselementene utenfor diagonalen. Den første gir a + d ≠ 0, så den andre gir c = 0.

Dermed gir diagonalelementene a^{2} = d^{2} = α, som er umulig å forene med a + d ≠ 0 når α = 0. For α > 0, derimot, er det bare å sette a = d = \sqrt{α}. Deretter setter vi b = 1/(a + d) = 1/(2\sqrt{α}).

5.29 side 321: Vi har altså

AS = SΛ og BS = SC der Λ = [\begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] og C = [\begin{matrix}2 & 3 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

Den første ligningen er jo egenverdiligningen for As egenvektorer på standard form, så egenverdiene er diagonalelementene 2 og 1 for Λ og egenvektorer er søyelene i S, altså x_{1} og x_{2}.

Dette argumentet virker ikke direkte på B, fordi C ikke er diagonal. Men for C finner vi de samme egenverdiene (2 og 1) fordi C er triangulær, og egenvektorene krever bare litt mer arbeid: Representative egenvektorer blir v_{1} = [1 0]^{T} for λ = 2 og v_{2} [3 −1]^{T} for λ = 1. Fra egenvektorene til C lager vi lett egenvektorer for B, for om Cv = λv kan vi sette u = Sv og få Bu = BSv = SCv = S(λv) = λSv = λu. Anvend dette på de to egenvektorene til C og finn egenvektorene for B: For λ = 2 finner vi u_{1} = Sv_{1} = x_{1} og for λ = 1 finner vi u_{2} = Sv_{2} = 3x_{1} −x_{2}.

Eksamen mai 1991: 1: Se løsningsforslag i eksamensoppgavesamlingen.

Eksamen august 1991: 1:

(a) Vi bruker normalligningene for systemet Ax = b, som kan skrives A^{T}Ax = A^{T}b. I dette tilfellet blir

A = [\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix}] , b = [\begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}] , A^{T}A = [\begin{matrix}9 & 4 \\ 4 & 9 \end{matrix}] , A^{T}b = [\begin{matrix}1 \\ 2 \end{matrix}]

og Cramers regel (som aldri^{1} bør anvendes for matriser større enn 2 × 2 ) gir oss

(A^{T}A)^{−1} = \frac{1}{65} [\begin{matrix}9 & −4 \\ −4 & 9 \end{matrix}] , x = (A^{T}A)^{−1}A^{T}b = \frac{1}{65} [\begin{matrix}1 \\ 14 \end{matrix}]

(b) En mulig formel for den søkte projeksjonen er P = A(A^{T}A)^{−1}A^{T}. Utregnet i MATLAB:

     :   >> A=[2,0;1,2;2,1;0,2]       :                                :
     :                                :                                :
     : A =                            :                                :
     :                                :                                :
     :      2     0                   :                                :
     :      1     2                   :     >> A*ans*A'                :
     :      2     1                   :                                :
     :      0     2                   :     ans =                      :
     :                                :                                :
     : >> 65*inv(A'*A)                :         36     2    28   -16   :
     :                                :          2    29    16    28   :
     : ans =                          :         28    16    29     2   :
     :                                :        -16    28     2    36   :
     :      9    -4                   :                                :
     :     -4     9                   :     >>                         :

altså

P = \frac{1}{65} [\begin{matrix}36 & 2 & 28 & −16 \\ 2 & 29 & 16 & 28 \\ 28 & 16 & 29 & 2 \\ −16 & 28 & 2 & 36 \end{matrix}]

1Nesten aldri i hvert fall