Sylvesters treghetslov

Harald Hanche-Olsen

9. mai 1995

Sammendrag Notatet gir et alternativt bevis for Sylvesters treghetslov (“law of inertia”). Beviset i Strang er i og for seg korrekt, men krever mer teori for å kunne kalles rigorøst. Beviset som presenteres her er mer likt det man vanligvis finner i lærebøker, men er mer geometrisk av natur.

I dette notatet vil A være en symmetrisk, reell n × n-matrise. Husk at A er ortogonalt diagonaliserbar, slik at det finnes ortonormale vektorer v_{1}, …, v_{n} som danner en basis for R^{n} og slik at Av_{i} − λ_{i}v_{i} for i = 1, …, n.

1 Definisjon La d_{+}(A) være antall positive egenverdier for A, d_{−}(A) antall negative egenverdier, og d_{0}(A) være antall egenverdier som er lik 0. Vi teller med multiplisitet, slik at d_{+}(A) + d_{−}(A) + d_{0}(A) = n (med andre ord, d_{+}(A) er antall i slik at λ_{i} > 0 og så videre).

Fordi det ikke er noen enkel sammenheng mellom egenverdier og egenvektorer for A og de for C^{T}AC, må beviset for Sylvesters teorem (se nedenfor!) gå veien om en annen karakterisering av d_{+}(A).

2 Definisjon Et underrom V ⊆ R^{n} kalles A-positivt dersom x^{T}Ax > 0 for enhver vektor x ∈ V med x ≠ 0.

Dette er en nyttig definisjon fordi CV = {Cv: v ∈ V } er A-positivt hvis og bare hvis V er C^{T}AC-positivt. Beviset for denne påstanden overlater vi til leseren.

3 Lemma d_{+}(A) er den største mulige dimensjonen for et A-positivt underrom av R^{n}.

Bevis: Rommet utspent av egenvektorene med positiv egenverdi har dimensjon d_{+}(A). Mer presist, om vi sorterer egenverdiene i avtagende rekkefølge får vi λ_{i} > 0 for i = 1, …, d_{+}(A) mens λ_{i} ≤ 0 når i > d_{+}(A). En vilkårlig vektor x ∈ R^{n} skrives x = ∑_{i=1}^{n} c_{i}v_{i}, og vi finner

x^{T}Ax = ∑_{i=1}^{n} c_{i}^{2}λ_{i}

fordi vektorene v_{i} er ortogonale egenvektorer for A, slik at v_{i}^{T}Av_{j} = λ_{j}v_{i}^{T}v_{j} = 0 om i ≠ j, mens v_{i}^{T}Av_{i} = λ_{i} siden vi har regnet med ∥v_{i}∥ = 1.

Av formelen ovenfor følger umiddelbart at x^{T}Ax > 0 når x ≠ 0 er en lineærkombinasjon av v_{1}, …, v_{d_{+}(A)}, slik at rommet V utspent av disse vektorene er et A-positivt underrom. Åpenbart har dette rommet dimensjon d_{+}(A).

Vi ser også at x^{T}Ax ≤ 0 for x ∈ V^{⊥}, siden V^{⊥} er utspent av vektorene v_{i} med i > d_{+}(A), dvs. λ_{i} ≤ 0.

La nå U være et annet A-positivt underrom av R^{n}. Vi lar P være projeksjonsmatrisen på V, det vil si P = ∑_{i=1}^{d_{+}(A)} v_{i}v_{i}^{T}.

Om x ∈ U og P x = 0 er altså x ∈ U ∩V^{⊥}. Men x ∈ V^{⊥} impliserer x^{T}Ax ≤ 0 mens x ∈ U impliserer enten x^{T}Aa > 0 eller x = 0. Eneste mulighet er da x = 0, og projeksjonsmatrisen definerer derfor en en-til-en lineæravbildning fra U til V. Det er bare mulig dersom dim(U) ≤ dim(V) = d_{+}(A), slik at d_{+}(A) er den største mulige dimensjon til et A-positivt underrom som påstått. □

Som et eksempel kan vi betrakte matrisen

A = [\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix}] .

Det A-positive rommet V konstruert i lemmaet er xy-planet, mens et rom generelt er A-positivt hvis og bare hvis det ikke treffer dobbeltkjeglen z^{2} ≥ x^{2} + y^{2} utenfor origo. Ved å tegne noen figurer kan du lett overbevise deg om at ortogonalprojeksjon fra et A-positivt underrom til xy-planet er en-til-en. Det var dette som motiverte konstruksjonen av beviset i dette notatet.

4 Teorem (Sylvester) Om A er en symmetrisk, reell n × n-matrise og C er en invertibel n × n-matrise, er d_{+}(A) = d_{+}(C^{T}AC), d_{−}(A) = d_{−}(C^{T}AC) og d_{0}(A) = d_{0}(C^{T}AC).

Bevis: At d_{+}(A) = d_{+}(C^{T}AC) følger direkte fra lemmaet og bemerkningen foran lemmaet.

Dermed følger likheten d_{−}(A) = d_{−}(C^{T}AC) fordi d_{−}(A) = d_{+}(−A).

At d_{0}(A) = d_{0}(C^{T}AC) følger av at d_{0}(A) = dim N (A) = n − r der r er rangen til A, og at A og C^{T}AC har samme rang som A siden multiplikasjon med en invertibel matrise på den ene eller andre siden ikke endrer rangen.

Alternativt kan man bruke identiteten d_{+}(A) + d_{−}(A) + d_{0}(A) = n. □