75042 Partielle differensialligninger

Faginformasjon, høsten 1995

Faglærer: Harald Hanche-Olsen Institutt for matematiske fag Rom 1154 Sentralbygg 2. Telefon: 73 59 35 25

E-post: hanche@imf.unit.no
World Wide Web: http://www.imf.unit.no/~hanche/

Forelesninger: Torsdag 14:15-16:00 i F3 og fredag 11:15-13:00 i B-049. Av hensyn til et par utenlandsstudenter blir undervisningen gitt på engelsk.

Øvinger: Tirsdag 14:15-16:00 i F3. Første gang tirsdag 12/9.

NB I dette emnet, mer enn nesten noe annet emne innenfor matematikken, gjelder at øving gjør mester. Metodene som brukes inne partielle differensialligninger kan lett komme til å se ut som en samling umotiverte tricks, og det er vanskelig å forstå nødvendigheten av disse metodene, for ikke å snakke om å tilegne seg dem, om man ikke regner oppgaver.

Øvingene er frivillige, men den som ikke gjør øvinger lurer ingen andre enn seg selv.

Første øvingsoppgave (til tirsdag 12/9 — fra eksamen august 1995):

Dersom du prøver å løse initialverdiproblemet

u_{t} + (\frac{1}{3}u^{3})_{x} = 0 (t > 0)
u(x, 0) = x

støter du raskt på vanskeligheter. Hva er årsaken til disse vanskelighetene? (Ikke prøv å finne en vei utenom).

Finn en svak løsning for initialverdiproblemet

u_{t} + (\frac{1}{3}u^{3})_{x} = 0 (t > 0)

u(x, 0) = \begin{cases}−1 & x ≤ −1, \\ x & −1 ≤ x ≤ 1, \\ 1 & x ≥ 1. \end{cases}

Du trenger ikke gi et analytisk uttrykk for sjokkposisjonen(e) etter at sjokk er oppstått i løsningen. Du trenger heller ikke være så svært stringent i bevisførselen for tiden etter at sjokk er oppstått.

Lærebok: Michael Renardy, Robert C. Rogers, An introduction to partial differential equations, Springer-Verlag 1993. ISBN 3-540-97952-2. Dessuten notater.

Pensum: Det er for tidlig å gi noen pensumliste. Vi må bygge den opp underveis! Emnene vil inkludere klassifikasjon (elliptisk, parabolsk, hyperbolsk), Cauchy-Kowalewskaja-teoremet, første ordens systemer og konserveringslover, variasjonslemmaet, maksimumsprinsippet, Perron’s metode, distribusjonsteori, Fouriertransform og Sobolevrom.

Eksamen: Skriftlig eksamen, 22. desember (beklager — ikke min idé!). Varighet: 6 timer. Lommekalkulator er ikke tillatt, heller ingen trykte eller skrevne hjelpemidler.