75042 Partielle differensialligninger

Oppgavesett #5 (til 1997–10–07 ) — løsningsforslag

Oppgavene var hentet fra notatet Entropy conditions for conservations laws (Ent). Ved en feil var oppgavene merket #4 på arket som var delt ut.

Ent–2: I entropiulikheten (u_{r} − u_{l})(F (w) − σw − C) > 0 setter vi inn C = F (u_{l}) − σu_{l} og rydder litt:

(u_{r} − u_{l})(F (w) − F (u_{l}) − σ(w − u_{l})) > 0

men når w ligger mellom u_{l} og u_{r} så er (u_{r} − u_{l})(w − u_{l}) > 0, så vi kan dividere med dette produktet og få den ekvivalente ulikheten

\frac{F (w) − F (u_{l})}{w − u_{l}} − σ > 0

som er den første av de to ønskede ulikhetene. Den andre får vi ved å bruke C = F (u_{r}) − σu_{r} på samme måten.

Det beste beviset synes jeg likevel er rent geometrisk: Ulikheten i proposisjon 1 sier at grafen til F ligger på den ene siden av sekanten gjennom (u_{l}, F (u_{l})) og (u_{r}, F (u_{r})) (over hvis u_{r} > u_{l}, under hvis u_{l} > u_{r}). De to ulikhetene i oppgaven sammenligner stigningstallet til den sekanten med stigningstallene til to andre sekanter: Den mellom (u_{l}, F (u_{l})) og (w, F (w)) og den mellom (u_{r}, F (u_{r})) og (w, F (w)). Du trenger bare tegne en figur for å overbevise deg om at de to formuleringene er ekvivalente.

Ent–3: Som i oppgaven foran vil en enkel figur raskt avsløre sannheten.

Alternativt kan vi bemerke at sjokkhastigheten kan regnes ut som

σ = \frac{F (u_{r}) − F (u_{l})}{u_{r} − u_{l}} = \frac{1}{u_{r} − u_{l}} ∫_{u_{l}}^{u_{r}} F′(w) dw

som er middelverdien av F′ over intervallet mellom u_{l} og u_{r}. Siden F er konveks er F′ monoton, og antar derfor sine ekstremverdier i endepunktene av intervallet. Middelverdien σ ligger mellom ekstremverdiene, altså mellom F′(u_{l}) og F′(u_{r}). De gitte ulikhetene i oppgaven er derfor ekvivalente med den enkle ulikheten F′(u_{l}) ≥ F′(u_{r}), som er ekvivalent med u_{l} > u_{r} når F er konveks, og ekvivalent med u_{r} > u_{l} når F er konkav. I det første tilfellet ligger grafen til F under sekanten, og i det andre tilfellet ligger den over. Dette stemmer med den geometriske tolkningen av entropiulikheten.

Ent–4: For Burgers ligning blir løsningen (formel (8) i notatet)

∫ \frac{dw}{\frac{1}{2}w^{2} − σw − C} = ξ.

Ting blir enklere om vi skriver \frac{1}{2}w^{2} − σw − C = \frac{1}{2}((w − σ)^{2} − δ^{2}) der δ = (u_{r} − u_{l})/2. (Vi husker at σ = (u_{r} + u_{l})/2, og C er slik at \frac{1}{2}w^{2} − σw − C = 0 når w ∈ \{u_{l}, u_{r}\}. Dette passer med formelen over.) Vi får dermed^{1}

ξ = 2 ∫ \frac{dw}{(w − σ)^{2} − δ^{2}} = −\frac{2}{δ} ∫ dζ = −\frac{2}{δ} arctanh \frac{w − σ}{δ}

hvor vi har brukt substitusjonen w − σ = δ tanh ζ, som gir

dw = δ(1 − tanh^{2} ζ)dζ = \frac{1}{δ}(δ^{2} − (w − σ)^{2})dζ.

Vi ender med

w = σ − δ tanh \frac{δ · ξ}{2} .

1Du vet kanskje at hyperbolsk arcus tangens kan uttrykkes ved hjelp av naturlige logaritmer og kvadratrøtter, men her er vi mer interessert i å omvende formelen og uttrykke w ved ξ, og da kommer det bare i veien.

75042 PDE 1997: Oppgavesett #5 Side 2

Ent–7: For Burgers ligning med F (u) = u^{2}/2, og H(u) = u^{2}/2 som foreslått, skal vi ha G′(u) = F′(u)H′(u) = u^{2} som leder til G(u) = u^{3}/3. Ulikheten i lemma 6 blir da

\frac{u_{r}^{3} − u_{l}^{3}}{3} ≤ \frac{u_{r} + u_{l}}{2} \frac{u_{r}^{2} − u_{l}^{2}}{2} .

Etter å ha ganget med fellesnevneren 12, ganget ut parenteser og samlet leddene, står vi igjen med

u_{r}^{2} − 3u_{r}^{2}u_{l} + 3u_{r}u_{l}^{2} − u_{l}^{3} ≤ 0,

med andre ord (u_{r} − u_{l})^{3} ≤ 0. Det er ekvivalent med u_{r} − u_{l} ≤ 0, og det er akkurat entropibetingelsen for når F er strengt konveks slik den er for Burgers lov.

Oppgavesett #6 (til 1997–10–14 )

Fra Evans side 80: oppgave 2, 3, 4. Dessuten:

#6–1: La u være en C^{2}–funksjon på en åpen mengde. Vis at u ikke kan ha et lokalt maksimum i et punkt hvor Δu > 0.

#6–2: La Ω være en begrenset åpen mengde, og la u ∈ C^{2}(Ω)∩C(\overline{Ω}) oppfylle ligningen Δu = u^{3}−u i Ω, mens u = 0 på ∂Ω. Vis at −1 ≤ u ≤ 1 i hele Ω.