75042 Partielle differensialligninger

Oppgavesett #7 (til 1997–10–21 ) — løsningsforslag

#7–1: The standard separation of variables procedure tells us to look for solutions to Δu = 0 on the form u(x, y) = X(x)Y (y) with Y (0) = Y (π) = 0. The PDE becomes X′′/X + Y′′/Y = 0 (after dividing by XY), so each term must be constant, and we get Y (y) = sin ky (k = 1, 2, …) because of the conditions on Y. Then X(x) = Ae^{kx} + Be^{−kx}, and we get unbounded solutions. The example tells us that the maximum principle may fail for unbounded domains.

#7–2: La u_{n} være harmonisk og u_{n} → u uniformt på kompakte mengder i Ω. For å vise at u er harmonisk er det nok å vise middelverdiegenskapen. Så la x ∈ Ω, og velg r > 0 liten nok til at B(x, r) ⊂ Ω. Siden ∂B(x, r) er en kompakt delmengde av Ω, vil u_{n} → u uniformt på ∂B(x, r) og dermed vil − ∫_{∂B(x,r)} u_{n} dS → − ∫_{∂B(x,r)} u dS. Dermed blir

u(x) = lim_{n→∞} u_{n}(x) = lim_{n→∞} − ∫_{∂B(x,r)} u_{n} dS = − ∫_{∂B(x,r)} u dS,

som var det vi skulle vise.

Konvergensen av integralet følger av estimatet

| − ∫_{∂B(x,r)} u_{n} dS − − ∫_{∂B(x,r)} u dS| ≤ − ∫_{∂B(x,r)} |u_{n}(y) − u(y)| dS < ε

dersom n er så stor at |u_{n}(y) − u(y)| < ε når y ∈ ∂B(x, r).

#7–3: Vi må bare vise uniform konvergens på kompakter. At grensen er harmonisk følger da av forrige oppgave. Uniform konvergens vil følge av Harnacks ulikhet:

Hvis K er en kompakt delmengde av Ω, finnes alltid en sammenhengende kompakt K′ med K ⊆ K′ ⊂ Ω. Dette følger av at Ω er sammenhengende, og virker kanskje intuitivt opplagt. Den greieste måten å bevise det på er å merke seg at K kan dekkes av et endelig antall åpne baller U(x_{i}, r) der x ∈ K og r < dist(K, ∂Ω. Da er også unionen av tillukningen B(x_{i}, r) til disse ballene inneholdt i Ω, og vi kan danne K′ ved å ta unionen av disse ballene og legge til en vei i Ω mellom alle sentrene x_{i}. (Grunnen til at vi måtte ta denne omveien er at en kompakt mengde gjerne kan ha uendelig mange komponenter.)

Vi kan altså reformulere Harnacks ulikhet slik: For hver kompakt mengde K ⊂ Ω finnes en konstant M slik at for enhver harmonisk v ≥ 0 på Ω gjelder max_{K} v ≤ Mu(x). (Bevis: anvend Harnacks ulikhet på en sammenhengende kompakt delmengde av Ω som inneholder K ∪ {x}.)

Siden u_{n}(x) er en voksende og begrenset følge er den konvergent, og spesielt er den Cauchy. jeg vil bruke Harnacks ulikhet til å vise at følgen (u_{n}) er uniformt Cauchy på kompakter. Så la K ⊂ Ω være kompakt, og la M være som i avsnittet foran. La ε > 0 og la N være slik at |u_{m}(x) − u_{n}(x)| < ε/M når m, n ≥ N.^{1} Hvis nå N ≤ m < n så er jo u_{n} − u_{m} ≥ 0 harmonisk på Ω, og derfor er

max_{K} |u_{n} − u_{m}| = max_{K}(u_{n} − u_{m}) ≤ M(u_{n}(x) − u_{m}(x)) < M · ε/M = ε,

slik at (u_{n}) er uniformt Cauchy og derfor uniformt konvergent på K.

For å rettferdiggjøre den siste påstanden er det bare å merke seg at om y ∈ K så er |u_{m}(y) − u_{n}(y)| ≤ max_{K} |u_{n} − u_{m}| som viser at (u_{n}(y)) er Cauchy, og derfor konvergent. Så u(y) = lim_{n→∞} u_{n}(y) eksisterer for alle y ∈ K. I ulikheten |u_{m}(y) − u_{n}(y)| < ε for alle y ∈ K og m, n ≥ N kan vi altså la n → ∞ og få |u_{m}(y) − u(y)| ≤ ε for alle y ∈ K og m ≥ N, som er uniform konvergens mot u på K.

#7–4: Hvis v er subharmonisk og u harmonisk, er v − u subharmonisk. Ved oppgave 4b (side 81), som vi løste i forrige oppgavesett, er v − u ≤ 0 i Ω.

#7–5: Høyresiden i ulikheten vi skal bevise er på formen a ln r + b, og er derfor en harmonisk funksjon av (x, y) når r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}. Dessuten tar den verdien M(r_{i}) når r = r_{i} (i ∈ \{1, 2\}). Det 75042 PDE 1997: Oppgavesett #7 Side 2

1Vanligvis ville jeg bare krevet < ε og bemerket at sluttestimatet som ender med Mε er godt nok, men vaner er til for å brytes i blant.

følger at

u(x, y) ≤ \frac{M(r_{1}) ln \frac{r_{2}}{r} + M(r_{2}) ln \frac{r}{r_{1}}}{ln \frac{r_{2}}{r_{1}}} (r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}).

når (x, y) ligger på randen av annulusen, og siden begge sider er harmoniske gjelder ulikheten også i det indre, ved maksimumsprinsippet. Dette medfører den ønskede ulikheten.

Beviset lar seg umiddelbart generalisere til å vise ulikheten

M(r) ≤ M(r_{1})\frac{Φ(r_{2}) − Φ(r)}{Φ(r_{2}) − Φ(r_{1})} + M(r_{2})\frac{Φ(r) − Φ(r_{1})}{Φ(r_{2}) − Φ(r_{1})}

for alle n, hvor Φ er fundamentalløsningen til Laplaceoperatoren.

Oppgavesett #8 (til 1997–10–28 )

Fra Evans side 81: Oppgave 9. (Hint: Bruk Poisson’s integralformel.) Også oppgave 11 (side 82), pluss følgende:

#8–1: Hva er Laplaceoperatoren i to variable uttrykt i polarkoordinater? Bruk separasjon av variable til å uttrykke løsningen av randverdiproblemet Δu = 0 i x^{2} + y^{2} < 1, u(e^{iθ}) = g(θ) ved Fourierrekken til g. (Her har jeg identifisert planet ℝ^{2} med ℂ ved å identifisere (x, y) med x + iy; dette er ofte nyttig når man studerer harmoniske funksjoner i to variable.) Når du setter inn integralet for Fourierkoeffisientene til g i den resulterende rekken og bytter om sum og integral, blir summen en geometrisk rekke som du kan summere eksplisitt. Resultatet skal være Poisson’s integralformel for n = 2. Sammenlign med den generelle formelen i Evans. (Hint: Skriv Fourierrekkene som ∑_{n=−∞}^{∞} c_{n}e^{inθ}, ikke uttrykt ved sin nθ og cos nθ. R-ligningen du får ved separasjon av variable ser vanskelig ut, men prøv med svar på formen r^{γ} for en konstant γ.)