Osgoodkurven

I denne sammenhengen betyr kurve en parametrisert kurve, altså en vektorvaluert funksjon r(t)=(x(t),y(t)) der komponentfunksjonene x og y er kontinuerlige funksjoner på et intervall (som ofte velges til å være [0,1]).

Peanokurven er et vel kjent eksempel: Dette er en kurve som fyller hele enhetskvadratet [0,1]×[0,1]. Men ingen kurve kan gjøre det uten å skjære seg selv uendelig mange ganger.

En Jordankurve er en kurve som aldri møter seg selv, med det unntak at den kan få ende i samme punkt som den begynte. I så fall snakker vi om en lukket Jordankurve, og det berømte Jordans kurveteorem sier at en slik deler planet i to deler - innsiden og utsiden av kurven. Jordankurver kalles også ofte enkle kurver.

Osgoodkurven er en Jordankurve med positivt areal. Mer presist finnes mange Osgoodkurver: En slik kan plasseres i enhetskvadratet og ha areal så nær 1 som man kunne ønske. Konstruksjonen av Osgoodkurven starter med følgende bilde.

Vi starter med enhetskvadratet [0,1]×[0,1] og bygger et dike D (gult i tegningen) langs to av sidene og graver en kanal C (blått) langs de to andre sidene. Så utvides dikene og kanalene gjennom kvadratet som vist, slik at vi står igjen med ni småkvadrater 1-9 foruten dikene og kanalene. Osgoodkurven skal starte i A og ende i B og alltid følge vannkanten, med et dike på venstre side og en kanal til høyre. Fra A går den på en eller annen måte gjennom kvadrat 1 til det motsatte hjørnet av dette kvadratet, og følger deretter den røde linjen til kvadrat 2. Den fortsetter likedan gjennom kvadrat 2, langs den røde linjen til kvadrat 3, og så videre gjennom alle kvadratene i nummerrekkefølge til den ankommer punkt B til sist.

Jeg sa kurven skal passere gjennom hvert småkvadrat «på en eller annen måte». Men hvordan? Legg merke til at hvert småkvadrat er som en liten kopi av det opprinnelige kvadratet, med et dike på to sider og kanaler på de to andre. Så svaret er enkelt: Vi gjør det samme i hvert småkvadrat som i det store!

Nå står vi med 81 småsmåkvadrater, eller kanskje vi skal si 9² små²kvadrater, med en delvis definert kurve gjennom og mellom dem alle. De røde bitene mellom små²kvadratene er definert, men veien gjennom små²kvadratene er fortsatt usikker.

Neste trinn er åpenbart å dele inn hvert av små²kvadratene i 9 små³kvadrater, slik at vi i alt har 9³ slike. Og så fortsetter vi slik i det uendelige. Dette vil konvergere mot en kontinuerlig parametrisert kurve.

Aller sist skal vi merke oss at i det n-te trinnet, når vi deler inn hver av 9ⁿ småⁿkvadrater i 9ⁿ⁺¹ småⁿ⁺¹kvadrater, kan vi velge de nye dikene og kanalene så tynne vi ønsker, og dermed bruke så liten del av det gjenværende arealet som vi vil. Slik kan vi velge arealet av de nye dikene og kanalene i trinn n lik a_n hvor (a_n) er en fritt valgt følge av positive tall med sum mindre enn eller lik 1. Differansen (1 minus summen av alle a_n) må være arealet av kurven, og den kan altså også være et hvilket som helst tall i det halvåpne intervallet [0,1).

En utregning viser at om vi velger samme proporsjoner mellom bredden på kanalene og dikene og småⁿkvadratene på hvert trinn, vil arealet av kurven bli null. Så kanalene og dikene må velges stadig tynnere, i forhold til småⁿkvadratene de deler opp.

Diskusjon

Det er ikke (de røde) linjesegmentene i kurven som får positivt areal. Riktignok blir det uendelig mange av dem før vi er ferdige, men det er bare et tellbart antall, og hver av dem har areal 0, så unionen av dem alle har også areal 0. Men i det vi tar grensen til sist kommer det til masse nye punkter, og det er disse nye grensepunktene som bidrar med et positivt areal. Dette gjør det selvsagt veldig vanskelig å lage en fornuftig tegning av Osgood-kurven.

For at denne diskusjonen skal bli rigorøs, må vi ha en mye dypere forståelse av hva «areal» betyr enn det vi tilbyr i våre laveregrads kurs. Verktøyet vi trenger er først og fremst Lebesguemålet, som innføres i et kurs i integrasjonsteori på doktorgradsnivå.

Referanse

William F. Osgood: A Jordan curve of positive area. Transactions of the American Mathematical Society 4 (1903) side 107-112.
De to figurene over er hentet fra artikkelen.